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莫队算法详解

2016-01-26

本文在本人新博客的链接:http://www.myblog.link/2016/01/26/MO-s-Algorithm/

本文翻译自MO’s Algorithm (Query square root decomposition),作者anudeep2011,发表日期为2014-12-28。由于最近碰到一些莫队算法的题目,找到的相关中文资料都比较简略,而这篇英语文章则讲解的比较详细,故翻译成中文与大家分享。由于本人水平有限,错误在所难免,请谅解。下面是译文。


我又发现了一个有用,有趣但网上资源非常少的话题。在写作之前,我做了一个小调查,令我惊讶的是,几乎所有的印度程序员都不知道该算法。学习这个很重要,事实上所有的codeforces红名程序员都使用这个算法,比如在div 1 C题和D题中。在一年半以前没有这方面的题目,但从那时起这类题目的数量就爆发了!我们可以期待这在未来的比赛中会有更多的这类题目。

问题描述

给定一个大小为N的数组,数组中所有元素的大小<=N。你需要回答M个查询。每个查询的形式是L,R。你需要回答在范围[ L,R ]中至少重复3次的数字的个数。 例如:数组为{ 1,2,3,1,1,2,1,2,3,1 }(索引从0开始) 查询:L = 0,R = 4。答案= 1。在范围[L,R]中的值 = { 1,2,3,1,1 },只有1是至少重复3次的。 查询:L = 1, R = 8。答案= 2。在范围[L,R]中的值 = { 2,3,1,1,2,1,2,3 }, 1重复3遍并且2重复3次。至少重复3次的元素数目=答案= 2。

复杂度$O (N ^ 2)$的简单的解法

对于每一个查询,从L至R循环,统计元素出现频率,报告答案。考虑M = N的情况,以下程序在最坏的情况运行在$O(n ^ 2)$

for each query:
  answer = 0
  count[] = 0
  for i in {l..r}:
    count[array[i]]++
    if count[array[i]] == 3:
      answer++

对上述算法稍作修改。它仍然运行在$O(n ^ 2)$

add(position):
  count[array[position]]++
  if count[array[position]] == 3:
    answer++
 
remove(position):
  count[array[position]]--
  if count[array[position]] == 2:
    answer--
 
currentL = 0
currentR = 0
answer = 0
count[] = 0
for each query:
  // currentL 应当到 L, currentR 应当到 R
  while currentL < L:
    remove(currentL)
    currentL++
  while currentL > L:
    add(currentL)
    currentL--
  while currentR < R:
    add(currentR)
    currentR++
  while currentR > R:
    remove(currentR)
    currentR--
  output answer

最初我们总是从L至R循环,但现在我们从上一次查询的位置调整到当前的查询的位置。 如果上一次的查询是L = 3,R = 10,则我们在查询结束时有currentL=3、currentR=10。如果下一个查询是L = 5,R = 7,则我们将currentL 移动到5,currentR 移动到7。 add 函数 意味着我们添加该位置的元素到当前集合内,并且更新相应的回答。 remove 函数 意味着我们从当前集合内移除该位置的元素,并且更新相应的回答。

一个解决上述问题的算法及其正确性

莫队算法仅仅调整我们处理查询的顺序。我们得到了M个查询,我们将把查询以一个特定的顺序进行重新排序,然后处理它们。显然,这是一个离线算法。每个查询都有L和R,我们称呼其为“起点”和“终点”。让我们将给定的输入数组分为$\sqrt N$块。每一块的大小为 $N / \sqrt N = \sqrt N$。每个“起点”落入其中的一块。每个“终点”也落入其中的一块。

如果某查询的“起点”落在第p块中,则该查询属于第p块。该算法将处理第1块中的查询,然后处理第2块中的查询,等等,最后直到第$\sqrt N$块。我们已经有一个顺序、查询按照所在的块升序排列。可以有很多的查询属于同一块。

从现在开始,我会忽略(其它,译者注,所有括号内斜体同)所有的块,只关注我们如何询问和回答第1块。我们将对所有块做同样的事。(第1块中的)所有查询的“起点”属于第1块,但“终点”可以在包括第1块在内的任何块中。现在让我们按照R值升序的顺序重新排列这些查询。我们也在所有的块中做这个操作。(指每个块块内按R升序排列。)

最终的排序是怎样的? 所有的询问首先按照所在块的编号升序排列(所在块的编号是指询问的“起点”属于的块)。如果编号相同,则按R值升序排列。 例如考虑如下的询问,假设我们会有3个大小为3的块(0-2,3-5,6-8): {0, 3} {1, 7} {2, 8} {7, 8} {4, 8} {4, 4} {1, 2} 让我们先根据所在块的编号重新排列它们 {0, 3} {1, 7} {2, 8} {1, 2} (|){4, 8} {4, 4}(|) {7, 8} 现在我们按照R的值重新排列 {1, 2} {0, 3} {1, 7} {2, 8}(|) {4, 4} {4, 8}(|) {7, 8} 现在我们使用与上一节所述相同的代码来解决这个问题。上述算法是正确,因为我们没有做任何改变,只是重新排列了查询的顺序。

对上述算法的复杂性证明 - $O (\sqrt N \times N)$

我们完成了莫队算法,它只是一个重新排序。可怕的是它的运行时分析。原来,如果我们按照我上面指定的顺序,我们所写的$O(N ^ 2)$的代码运行在$O(\sqrt N ×N)$时间复杂度上。可怕,这是正确的,仅仅是重新排序查询使我们把复杂度从$O(N ^ 2)$降低到$O(\sqrt N ×N)$,而且也没有任何进一步的代码上的修改。好哇!我们将以$O(\sqrt N ×N)$的复杂度AC。

看看我们上面的代码,所有查询的复杂性是由 4个while循环决定的。前2个while循环可以表述为“左指针(currentL)的移动总量”,后2个 while循环可以表述为“右指针(currentR)的移动总量”。这两者的和将是总复杂性。

最重要的。让我们先谈论右指针。对于每个块,查询是递增的顺序排序,所以右指针(currentR)按照递增的顺序移动。在下一个块的开始时,指针可能在extreme end (最右端?) ,将移动到下一个块中的最小的R处。这意味着对于一个给定的块,右指针移动的量是$O(N)$。我们有$O(\sqrt N)$块,所以总共是$O(N \times \sqrt N)$。太好了!

让我们看看左指针怎样移动。对于每个块,所有查询的左指针落在同一个块中,当我们从一个查询移动到另个一查询左指针会移动,但由于前一个L与当前的L在同一块中,此移动是$O(\sqrt N)$(块大小)的。在每一块中左指针的移动总量是$O(Q \times \sqrt N)$,Q是落在那个块的查询的数量。对于所有的块,总的复杂度为$O(M \times \sqrt N)$。

就是这样,总复杂度为$O( (N + M) \times \sqrt N ) = O( N \times \sqrt N )$

上述算法的适用范围

如前所述,该算法是离线的,这意味着当我们被强制按照特定的顺序查询时,我们不能再使用它。这也意味着当有更新操作时我们不能用这个算法。不仅如此,一个重要的可能的局限性:我们应该能够编写add 和remove函数。会有很多的情况下,add 是平凡的 (指复杂度$O(1) $?),但remove不是。这样的一个例子就是我们想要求区间内最大值。当我们添加的元素,我们可以跟踪最大值。但当我们删除元素则不是平凡的。不管怎样,在这种情况下,我们可以使用一个集合来添加元素,删除元素和报告 最小值(作者想说最大值?)。在这种情况下,添加和删除操作都是$O(log N)$(导致了$O(N \times \sqrt N \times log N)$的算法)。

在许多情况下,我们可以使用此算法。在一些情况下,我们也可以使用其它的数据结构,如线段树,但对于一些问题使用莫队算法的是必须的。让我们在下一节中讨论几个问题。

习题和示例代码

(省略结束语)



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